已知x+y+根号(x^2+y^2)=20，求xy的最大值

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/13 05:20:13
RT。
不是吧……答案都不一样？？？我再仔细研究下各位的答案…………

因为x^2+y^2>=2|xy|
x+y>=2根号下|xy|

所以x+y+根号(x^2+y^2)>=(2+根号2)根号下|xy|
所以(2+根号2)根号下|xy|<=20
|xy|<=20/ (2+根号2)
所以最大值位10(2-根号2)

20=x+y+x^2+y^2>=2(xy)^(1/2)+2xy
xy+(xy)^(1/2)<=10
记t=(xy)^(1/2)>=0
t^2+t<=10
[-1-41^(1/2)]/2<=t<=[-1+41^(1/2)]/2
xy<=[-1+41^(1/2)]/2

解：由题意，得

x+y+√(x²+y²)=20

∵x²+y²≥2|xy|

..x+y≥2√|xy|

∴x+y+√(x²+y²)≥2√|xy|+√(2|xy|)

∴x+y+√(x²+y²)≥(2+√2)√|xy|

∴20≥(2+√2)√|xy|

即(2+√2)√|xy|≤20

∴√|xy|≤10(2-√2)

∴√|xy|的最大值：

√|xy|=10(2-√2)

∴|xy|=100(2-√2)²

最大值：xy=100(6-4√2)

化简得xy=-200+20（x+y）；xy=（-200*x+20*x^2）/(x-20);
代入matlab
最大值为
1165.7